Ecuacion de Onda

Una onda es una perturbación que avanza o que se propaga en un medio material o incluso en el vacío. A pesar de la naturaleza diversa de las perturbaciones que pueden originarlas, todas las ondas tienen un comportamiento semejante. El sonido es un tipo de onda que se propaga únicamente en presencia de un medio que haga de soporte de la perturbación.

Algunas clases de ondas precisan para propagarse de la existencia de un medio material. Se denominan genéricamente ondas mecánicas. El sonido, las ondas que se forman en la superficie del agua, las ondas en muelles o en cuerdas, son algunos ejemplos de ondas mecánicas y corresponden a compresiones, deformaciones y, en general, a perturbaciones del medio que se propagan a través suyo. Sin embargo, existen ondas que pueden propasarse aun en ausencia de medio material, es decir, en el vacío. Son las ondas electromagnéticas o campos electromagnéticos viajeros; a esta segunda categoría pertenecen las ondas luminosas.

EL MOVIMIENTO ONDULATORIO

El tipo de movimiento característico de las ondas se denomina movimiento ondulatorio..En el movimiento ondulatorio, la energya y el momento lineal se trasportan de un punto a otro del espacio sin transportar material así,  El movimiento ondulatorio supone únicamente un transporte de energía y de cantidad de movimiento.

Tipos de ondas

Junto a una primera clasificación de las ondas en mecánicas y electromagnéticas, es posible distinguir diferentes tipos de ondas atendiendo a criterios distintos.

En relación con su ámbito de propagación las ondas pueden clasificarse en:

Monodimensionales: Son aquellas que, como las ondas en los muelles o en las cuerdas, se propagan a lo largo de una sola dirección del espacio.

Bidimensionales: Se propagan en cualquiera de las direcciones de un plano de una superficie. Se denominan también ondas superficiales y a este grupo pertenecen las ondas que se producen en la superficie de un lago cuando se deja caer una piedra sobre él. Atendiendo a la periodicidad de la perturbación local que las origina, las ondas se clasifican en:

Periódicas: Corresponden a la propagación de perturbaciones de características periódicas, como vibraciones u oscilaciones que suponen variaciones repetitivas de alguna propiedad. Así, en una cuerda unida por uno de sus extremos a un vibrador se propagará una onda periódica.

No periódicas: La perturbación que las origina se da aisladamente y en el caso de que se repita, las perturbaciones sucesivas tienen características diferentes. Las ondas aisladas, como en el caso de las fichas de dominó, se denominan también pulsos. Según que la dirección de propagación coincida o no con la dirección en la que se produce la perturbación, las ondas pueden ser:

Longitudinales: El movimiento local del medio alcanzado por la perturbación se efectúa en la dirección de avance de la onda. Un muelle que se comprime da lugar a una onda longitudinal.

Transversales: La perturbación del medio se lleva a cabo en dirección perpendicular a la de propagación. En las ondas producidas en la superficie del agua las partículas vibran de arriba a abajo y viceversa, mientras que el movimiento ondulatorio progresa en el plano perpendicular. Lo mismo sucede en el caso de una cuerda; cada punto vibra en vertical, pero la perturbación avanza según la dirección de la línea horizontal. Ambas son ondas transversales.

La propagación de las ondas

las propiedades del medio influirán decisivamente en las características de las ondas. Así, la velocidad de una onda dependerá de la rapidez con la que cada partícula del medio sea capaz de transmitir la perturbación a su compañera. Los medios más rígidos dan lugar a velocidades mayores que los más flexibles. . En un muelle de baja constante elástica k una onda se propagará más despacio que en otra que tenga una k mayor. Lo mismo sucede con los medios más densos respecto de los menos densos.

Transmisión de la energía en un movimiento ondulatorio

La propagación de una onda lleva consigo un flujo o transporte de energía del foco emisor al medio a lo largo de la dirección en la que la onda avanza. Si la perturbación que se propaga consiste en un movimiento vibratorio armónico es posible determinar la magnitud de dicho flujo de energía.

En un medio elástico el movimiento vibratorio de cada punto se conserva en el tiempo, no hay disipación de la energía de vibración y, por tanto, la energía mecánica total, suma de cinética y potencial, se mantiene constante. Dado que en un M.A.S. la energía total coincide con la energía potencial máxima o con la cinética máxima, para cada partícula del medio alcanzada por la perturbación se cumplirá:

E = E_c + E_p = E_{c máx} = m.v ² _máx/2

siendo v _máxima = ω A y ω = 2 π f, es decir:

E = m.(2.π.f.A) ²/2 = 2.m.π ².f ².A ²

Demostracion de la ecuación de la onda

 Dinámica de un elemento de cuerda

Consideremos un trozo de cuerda de longitud infinitesimal, comprendido entre las posiciones x y x + Δx. Este trozo tendrá una masa muy pequeña

Esta masa, aunque dibujada de forma exagerada como un segmento largo de cuerda, puede tratarse como una partícula que se mueve exclusivamente en la dirección vertical, según hemos supuesto, de forma que la velocidad y aceleración de esta masa es

        

El uso de la derivada parcial,  se debe a que y depende realmente de dos variables, x y t. La velocidad y la aceleración corresponden a un movimiento vertical (variación en t) sin que se modifique la posición horizontal (x constante). Esta es justamente la definición de derivada parcial.

Este trozo infinitesimal de cuerda se mueve sometida a la acción de las fuerzas ejercidas por los trozos de cuerda adyacentes, a través de la tensión  con que tiran de ella. De esta forma, la segunda ley de Newton para esta masa puntual se escribirá

El signo menos en la segunda tensión se debe a que consideramos la tensión siempre como la que el elemento situado en x + Δx tira del elemento anterior, situado en x. Si consideramos la fuerza con la que un elemento tira del siguiente, en vez del anterior, habrá que cambiarle el signo.

Veamos cada componente de esta ecuación vectorial por separado.

Componente longitudinal

Si consideramos la dirección longitudinal, paralela a la cuerda, tenemos que en esta dirección la aceleración es nula (pues la onda es transversal), así que la segunda ley de Newton se reduce a

siendo FTx las componentes de la tensión (que, como toda fuerza, es un vector) en la dirección longitudinal. Podemos relacionar estas componentes con el módulo de la tensión, 

, y el ángulo θ que forma con la dirección longitudinal

con lo que nos queda

Ahora bien, por ser pequeña la amplitud de las oscilaciones, este ángulo \theta es siempre muy pequeño, de forma que podemos hacer la aproximación

de forma que la ecuación de movimiento en la dirección longitudinal se reduce a

o, lo que es lo mismo, la tensión es la misma, en módulo, para todos los puntos de la cuerda. Por ello se puede hablar de la “tensión de la cuerda” sin especificar a qué punto nos referimos. Hay que recordar, no obstante, que este resultado es aproximado, consecuencia de haber supuesto pequeñas amplitudes.

Componente transversal

En la dirección transversal sí debemos considerar la aceleración del elemento de masa, de forma que nos queda

Relacionando de nuevo las componentes con el módulo (del cual ya sabemos que es constante) y el ángulo nos queda

Aplicando de nuevo que el ángulo es pequeño, podemos hacer una doble aproximación

      

(recordemos que el coseno vale prácticamente la unidad). Esto nos convierte la ecuación para la componente transversal en

Ahora bien, la tangente del ángulo θ es justamente la pendiente de la recta tangente a la curva, esto es, la derivada con respecto a x

así que la ecuación anterior la podemos escribir como (pasando Δx al segundo miembro)

pero, para una función cualquiera en un instante dado, si Δx es infinitesimal

así que nos queda finalmente

que es la ecuación de onda que buscábamos.

FENOMENOS ONDULATORIOS:

• Difracción - Ocurre cuando una onda al topar con el borde de un obstáculo deja de ir en línea recta para rodearlo.
• Efecto Doppler - Efecto debido al movimiento relativo entre la fuente emisora de las ondas y el receptor de las mismas.
• Interferencia - Ocurre cuando dos ondas se combinan al encontrarse en el mismo punto del espacio.
• Reflexión - Ocurre cuando una onda, al encontrarse con un nuevo medio que no puede atravesar, cambia de dirección.
• Refracción - Ocurre cuando una onda cambia de dirección al entrar en un nuevo medio en el que viaja a distinta velocidad.
• Onda de choque - Ocurre cuando varias ondas que viajan en un medio se superponen formando un cono.

Formulario de ondas 

Ejercicios resueltos

Un rayo de luz blanca incide desde el aire sobre una lámina de vidrio con un ángulo de incidencia de 30⁰.

a)      ¿Qué ángulo formarán entre sí en el interior del vidrio los rayos rojo y azul componentes de la luz blanca, si los valores de los índices de refracción del vidrio para estos colores son, respectivamente, nrojo= 1,612  y  n_azul=1,671.

b)     ¿Cuáles serán los valores de la frecuencia y de la longitud de onda correspondientes a cada una de estas radiaciones en el vidrio, si las longitudes de onda en el vacío son, respectivamente, l _rojo= 656,3 nm y l _azul = 486,1 nm?               

Datos: velocidad de la luz en el vacío : c = 3 x 10⁸ m s^-1.

Datos 

q_i = 30⁰

n _{vidrio rojo} = 1,612             l_{0 rojo} = 656,3 nm

n _{vidrio azul} = 1,671             l_0azul =  486,1 nm

c = 3 x 10⁸ m s^-1

a)      Aplicando la ley de Snell:

1 sen q_i = n _{vidrio rojo} sen q_r  

1 sen q_i = n _{vidrio azul} sen q_r 

           

Dq = 18,07⁰ – 17,41⁰ = 0,66⁰

            Dq = 0,66⁰

b)

           

            f_{0 rojo} (vacío) = f_rojo (vidrio ) . La frecuencia es la misma en el aire que en el vidrio

            

Aplicación de ondas
Cuando pulsamos una cuerda tensa, la perturbación provocada se propaga a lo largo de la misma en forma de un pulso ondulatorio . La perturbación en este caso consiste en la variación de la forma de la cuerda a partir de su estado de equilibrio.Su propagación surge de la interacción de cada segmento adyacente . Los segmentos de la cuerda se mueven en dirección perpendicular a la cuerda y por lo tanto perpendiculares a la dirección del movimiento del pulso